Einhüllende Algebren halbeinfacher Lie-Algebren: 3 (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics) - Tapa dura

Es sei 9 eine endlich dimensionale Lie-Algebra uber dem Korper der komple­ xen Zahlen. In der Darstellungstheorie von gist eine der am einfachsten zu stellenden Fragen die nach einer Beschreibung aller irreduziblen Darstellungen von 9 oder (iiquivalent dazu) aller einfacher Moduln uber der universellen ein­ hullenden Algebra U (g) von g. Eine einfache Antwort auf diese Frage hat man nur, wenn 9 kommutativ ist. Hier ist auch U(g) kommutativ, also entsprechen die Isomorphieklassen einfa­ cher U (g)-Moduln eindeutig den maximal en Idealen in U (g). Da hier U (g) zur Algebra der polynomialen Funktionen auf dem Dualraum g* von 9 isomorph ist, werden diese maximalen Ideale nach dem schwachen Nullstellensatz durch die Punkte von g* klassifiziert. Jede irreduzible Darstellung von gist demnach eindimensional, jede Linearform auf 9 legt soleh eine Darstellung fest. Fur andere Lie-Algebren sind die Verhiiltnisse viel komplizierter. 1st 9 zum Beispiel einfach, so ist bisher nur fUr g=Glz eine Klassifikation der irreduzib­ len Darstellungen bekannt (vorgelegt von R Block), die jedoch weit davon ent­ femt ist, iihnlich explizit wie die im kommutativen Fall zu sein. Fur noch gro­ Bere Lie-Algebren scheint selbst eine solehe Klassifikation nicht erreichbar zu sein. Es scheint daher sinnvoll, zuniichst ein einfacheres Problem zu losen, das im kommutativen Fall mit dem alten zusammenfiillt. Dies ist die Untersuchung der primitiven Ideale von U(g), das heiBt der Annullatoren in U(g) der einfa­ chen U(g)-Moduln. Man mag hoffen, daraus auch Informationen uber die moglichen einfachen Moduln zu erhalten.